Artykuł i całą serię dedykuję Mai, która mnie do niej zainspirowała, tomeckiemu, który kilka lat temu zachęcił i Elanor, która pewnej, podobnej z resztą do dzisiejszej, nocy o tym ze mną dyskutowała. Wiem, że jestem opóźniony, ale to tylko trzy lata… Mogło być więcej! 🙂

Jako, że mój umysł nie działa do końca normalnie (potrzebne źródło), od dzieciństwa interesowały mnie aspekty fantastyki z perspektywy naukowej. Magia, moc, telepatia, telekineza, czy jak to zwać, w różnych powieściach mniej lub bardziej trzyma się pewnych zasad. Zwykle rzucenie zaklęcia wymaga szczególnych umiejętności i wiąże się z różnymi kosztami.
W "Światomorzu" dowiadujemy się, że praktycznie każda magia ma tylko charakter chwilowy. Stworzenie czegoś z niczego jest możliwe, ale jeśli czarnoksiężnik nie będzie utrzymywał zaklęcia, po krótkim czasie się ono rozwieje.
W cyklu "Dziedzictwo" pada twierdzenie, że wykonanie czegoś z użyciem magii wymaga tyle samo energii, co zrobienie tego własnymi rękami – to bardzo ciekawe twierdzenie, choć niestety konkretne przykłady użycia magii raczej je dyskredytują.
Prawdopodobnie najgłębiej naukowo magię omówiono w cyklu o "Świecie dysku". Tam magia jest przenoszona przez thaumy, odpowiednik atomów lub kwarków w naszym świecie. Jeśli chce się sprawić, by kapelusz wybuchł, można zmusić go do wybuchu, ale o wiele łatwiej i delikatniej jest tylko nacisnąć na czasoprzestrzeń, zmieniając stan kwantowy kapelusza tak, by lokalne rozwiązanie funkcji falowej sprawiło, że najbardziej prawdopodobnym stanem będzie wybuch. To tylko manipulacja prawdopodobieństwem, a nie rzeczywistym kapeluszem.
W wielu innych powieściach i filmach magia działa, bo tak, nie poznajemy jej mechanizmów lub omówione są one bardzo prowizorycznie.

Tym artykułem chciałbym zacząć (i, miejmy nadzieję, nie skończyć) cykl, w którym podejdziemy w nowy, naukowy sposób do różnych zjawisk opisanych w fantastyce. Jednocześnie bardzo serdecznie zapraszam was do poruszania w komentarzach zagadnień, o których chcielibyście usłyszeć.

Wingardium Lewiosa!

Jednym z pierwszych zaklęć poznawanych przez uczniów Hogwartu jest zaklęcie lewitacji, pozwalające czarodziejom unosić różne przedmioty. Na początku są to pióra, ale potem także maczuga trolla czy latający motocykl, wraz z Hagridem i Harrym z resztą.
Magia w twórczości pani Rowling jest nakreślona dziecinnym postrzeganiem, trudno określić, co dokładnie pozwala wykonać to zaklęcie. Czy na przykład pozwala ono na poruszanie przedmiotami, czy jedynie na ich unoszenie, a ruch to kolejne czary.

Podnieśmy piórko

W fizyce do ruchu można podejść na kilka sposobów. Pomijając takie karkołomne zapały, jak chęć rozwiązywania Funkcji Falowej albo równań różniczkowych Ogólnej Teorii Względności, możemy wyznaczyć dwa podstawowe podejścia, dynamikę oraz kinematykę. Dynamika nam powie, jaka jest różnica energii między ziemią a pewną wysokością, a więc jaką pracę należy wykonać, aby przedmiot unieść na tę wysokość. Kinematyka pozwoli na to samo, ale w odniesieniu do siły.
Patrząc na sprawę intuicyjnie, łatwo zauważyć, że im wyżej coś podnosimy, tym jest to trudniejsze. Z drugiej strony utrzymanie czegoś na danej wysokości wymaga od nas tyle samo siły nieważne, czy unieśliśmy to o kilka centymetrów, czy pół metra.

W tym momencie postanowiłem sprawdzić, ile waży piórko. Nieco wytrąciła mnie ze stabilności psychicznej informacja, że badania dotyczące ciężaru piór zostały wykonane między innymi w Narodowym Centrum Badań Jądrowych w Łodzi. Fizycy to jednak są nienormalni.
Wedle ich badań, waga piór waha się od 0,08 do 0,5 grama, przy czym średnia wynosi 0,1 grama.

Energia wymagana do podniesienia czegoś na daną wysokość, z pominięciem (i tak w wypadku piór praktycznie niewystępujących) oporów powietrza dana jest prostym wzorem, jest to masa (czyli m) razy przyspieszenie grawitacyjne (g) oraz razy wysokość (h). Ważne są jednostki, aby uzyskać energię w dżulach, musimy przyjąć masę w kilogramach, przyspieszenie grawitacyjne w metrach na sekundę kwadrat, a wysokość w metrach.

Co to jest przyspieszenie grawitacyjne?

Przyspieszenie grawitacyjne to przyspieszenie, które ciałom nadaje grawitacja. Oczywiście im dalej od powierzchni Ziemi, tym jest ono mniejsze, jednak w codziennym życiu poruszamy się na tak małych wysokościach, że nie musimy tego uwzględniać. Różnica w tej wartości między powierzchnią Ziemi a szczytem Mount Everest wynosi niecałe pół procenta.
Średnia wartość dla Ziemi przyspieszenia grawitacyjnego wynosi 9,81 metra na sekundę kwadrat. Oznacza to, że gdybyśmy spadali, nie uwzględniając oporów ruchu, w każdej sekundzie tego upadku nasza prędkość wzrastałaby o 9,81 metra na sekundę, tak po dziesięciu sekundach lotu lecielibyśmy już z prędkością 98,1 metra na sekundę.

To jaka jest ta energia?

Średnia masa pióra to 0,1 grama, a więc 0,0001 kilograma. W książce "Harry Potter i Kamień Filozoficzny" czytamy, że pióro uniosło się pod sufit, uznajmy, że są to dwa metry.
Przy zaokrągleniu przyspieszenia grawitacyjnego do 10 metrów na sekundę kwadrat, daje nam to energię równą 0,0001 kilograma razy 10 metrów na sekundę kwadrat razy 2 metry, czyli 0,002 dżula.
Dżul to używana w fizyce jednostka energii. W codziennym życiu używamy raczej jednak kalorii.
1 dżul to ok. 0,239 kalorii. Tak więc nasz wyczyn kosztował jedynie 0,0005 kalorii.

Pączki mają zawartość energetyczną między 400 a 500 kilokalorii. Oznacza to, że przy nawet najbardziej dietetycznym pączku, musielibyśmy podnieść w ten sposób 836800000 piór, aby spalić jeden pączek.

Może z maczugami wyjdzie lepiej?

Krótko później naszym bohaterom zdarza się starcie z trollem. Hermiona policzyła prawdopodobnie, że jeśli chce przekonać Rona do schudnięcia, musi mu zagwarantować nieco więcej ćwiczeń, no wiecie, uciekanie przed trójgłowymi psami, walki z trollami, takie tam. No więc nasze trio zabiera się do wyletywiwowania maczug.

Z pewną obawą w sercu wstukałem do Google zapytanie "Masa maczugi". Niestety, nie wyskoczyły żadne ciekawe prace, a informacje o chrupkach. Sprecyzowanie na "masa maczugi broń" dała bardziej ekscytujące wyniki.
Niestety wygląda na to, że Państwo z narodowych centrów badawczych jeszcze za maczugi się nie zabrali, jednak udało mi się znaleźć informacje, że replika niemieckich maczug waży 1,8 kg. Niech będzie.

Drugim pytaniem jest, na jaką wysokość podnosimy ów oręż. W książce troll jest zmuszany, by uderzyć się maczugą w głowę. Jakiego wzrostu jest troll?
Dowiadujemy się z opisu, że ma 12 stóp, czyli wedle stopy angielskiej, 365,76 cm.
Jeśli troll trzymał maczugę w wyciągniętej ręce, możemy umownie przyjąć, że należy ją podnieść o około jedną trzecią jego wysokości, czyli 1,2192 metra.

Korzystając z pokazanego wcześniej wzoru obliczymy, że podniesienie takiej maczugi to wydatek energetyczny 21,527 dżula. To przy założeniu, że nie uwzględniamy oporów powietrza, ale kto wie, może magia jakoś je omija?
To już 5,145 kalorii, a więc wystarczy podnieść 77744 maczugi, aby spalić pączka, znacznie lepiej!

Podnoszenie to nie wszystko

Do tej pory zakładaliśmy, że musimy tylko podnieść maczugę, ale nie uwzględniliśmy jej utrzymania. Musimy ją trzymać jednak w trakcie podnoszenia, nie ma tak, że grawitacja znika.
Siła to wedle praw pana Newtona masa razy przyspieszenie. Tak więc, aby utrzymać w górze coś o pewnej masie, musimy zrównoważyć siłę grawitacji. W wypadku maczugi, przy zaokrągleniu przyspieszenia grawitacyjnego do 10 metrów na sekundę kwadrat, oznacza to, że utrzymanie jej wymaga siły 18 newtonów.
Możemy pójść z tym o krok dalej. Praca dana jest wzorem siła (f) razy czas (t) razy kąt (cosinus alfa). Kąt na razie pomijamy, w tym wypadku nie ma znaczenia. Oznacza to, że każda sekunda utrzymania maczugi będzie nas kosztować dodatkowe 18 newtonów.

Nie jest jasne, jak długo maczuga leciała, aby walnąć trolla, uznajmy więc tę sekundę. Nasza energia wzrosła właśnie do 39,185 dżula, czyli 9,365 kalorii. Odpowiadając pączkożercom, już tylko 42711 maczug!

A potrzymajmy sobie maczugę!

Zastanówmy się, jak długo musielibyśmy utrzymywać w powietrzu maczugę, aby spalić wreszcie tego nieszczęsnego pączka.
Z poprzednich obliczeń wiemy, że podniesienie maczugi wymaga 21,527 dżula, a jej utrzymanie 17,658 dżula w każdej sekundzie. Powstanie nam coś, co nazwiemy funkcją liniową albo afiniczną.

W(t) = 21,527 + 17,658t

Taki zapis oznacza, że dla pewnej zmiennej t (tu czas w sekundach), nasza praca wynosi (21,527 plus 17,658 razy t) dżuli. Gdybyśmy narysowali wykres takiej funkcji, czyli jej wartość w każdym punkcie, zobaczylibyśmy linię, która wzrasta wraz z czasem.

Zastanówmy się, w którym momencie nasza energia się wyrówna, a więc kiedy spalimy tego pączka. Wystarczy tu proste równanie, pod w(t) podstawiamy energię pączka, w dżulach oczywiście

1673600 = 21,527 + 17,658t

Przenosimy liczby na jedną stronę i uzyskujemy:

1673600 – 21,527 = 17,658t
t = (1673578,473)/17,658

czyli 94777 sekund, nieco powyżej 24 godzin. Jak widać, magia jest dość energooszczędnym sposobem działania.

Jak to jest z motocyklami?

Myślicie, że to koniec? Nie nie, ja dopiero się rozkręcam!
Masa motocykla to około 150 kg. Do tego trzeba jeszcze w danej sytuacji doliczyć masę Harry’ego (oszacujmy 70kg) i Hagrida (skoro był wzrostu dwóch mężczyzn, proponuję 140 kg). Motocykl miał też przyczepę, wedle szybkiego zapytania dopuszczalna masa przyczep do motocykli to 100 kg. Daje to łączną masę motocyklu, przyczepy, Harry’ego i Hagrida 460 kg.

Harry nie próbował poderwać motocykla, próbował go tylko utrzymać, a więc nie obliczymy tu podnoszenia. Utrzymanie tego zestawu to wydatek energii 4512,6 dżula w każdej sekundzie, czyli 1078,5 kalorii.
Spalenie pączka zajęłoby tylko 379 sekund utrzymywania tak motocykla, nieco ponad 6 minut.

Droga Hermiono, jeśli chcesz, by Ron schudł… Każ mu lewitować motocykle!

PS. Pytanie od autora: ile pączków można zjeść w ciągu 379 sekund…